Zbiory i liczby

Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi, których nie definiuje się. Oznaczenie symboliczne "element a należy do zbioru A" lub "a jest elementem zbioru A":; element a nie należy do zbioru A":.

Zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez wszystkie swoje elementy.

Gdy

są wszystkimi elementami zbioru A, to piszemy 

Gdy wszystkie elementy zbioru A są elementami pewnego zbioru B i spełniają warunek w oraz każdy element zbioru B, który spełnia ten warunek należy do zbioru A, to piszemy

Zbiór A jest równy zbiorowi B, gdy A i B mają te same elementy, czyli 

 wtedy i tylko wtedy gdy: jeżeli 

 to

i na odwrót.

 

Zbiorem pustym nazywamy zbiór, do którego nie należy żaden element.

Zbiór pusty oznaczamy symbolem 

Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, gdy A zawiera się w B i wtedy piszemy

 

Zbiór nazywamy skończonym, gdy jest zbiorem pustym lub gdy możemy jego elementy ponumerować kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do pewnej liczby naturalnej n.

 

Zbiór nazywamy nieskończonym, gdy dla każdej liczby naturalnej n możemy wskazać w nim więcej niż n elementów.

 

Iloczynem zbiorów A i B (częścią wspólną zbiorów A i B) nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie te elementy zbioru A, które należą do zbioru B i do którego nie należy żaden inny element. Iloczyn zbiorów oznaczamy symbolem. Zatem:

wtedy i tylko wtedy, gdy  i

Mówimy, że zbiory A i B są rozłączne gdy 

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i nie należy żaden inny element. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem

Zatem: wtedy i tylko wtedy, gdy  lub 

 

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B i do którego nie należy żaden inny element. Różnicę zbiorów oznaczamy symbolem

Zatem: 

 wtedy i tylko wtedy, gdy

i

Osią liczbową nazywamy dowolną prostą, na której wybrano dwa różne punkty i przypisano im liczby 0 i 1. Każdemu punktowi osi liczbowej odpowiada pewna liczba rzeczywista, a zbiór wszystkich liczb rzeczywistych możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów osi liczbowej.

 

Niech L będzie dowolnym zbiorem liczb rzeczywistych. Mówimy, że liczba a ogranicza z góry ten zbiór (albo jest jego ograniczeniem górnym), gdy

dla każdej liczby l ze zbioru L.

Mówimy, że liczba b ogranicza z dołu zbiór L (albo jest jego ograniczeniem dolnym), gdy

dla każdej liczby l ze zbioru L.

Definicja. Zbiór, który ma ograniczenie górne, nazywamy zbiorem ograniczonym z góry.

 

Zbiór, który ma ograniczenie dolne, nazywamy zbiorem ograniczonym z dołu.

 

Zbiór, który jest ograniczony z góry i ograniczony z dołu, nazywamy zbiorem ograniczonym.

 

Zbiór, który nie ma ograniczenia górnego, nazywamy nieograniczonym z góry.

 

Zbiór, który nie ma ograniczenia dolnego, nazywamy nieograniczonym z dołu.

 

Zbiór, który nie ma ani ograniczenia górnego, ani dolnego, nazywamy nieograniczonym.

 

Liczbę a nazywamy kresem górnym niepustego zbioru liczbowego A, jeśli a jest ograniczeniem górnym zbioru A i każde ograniczenie górne tego zbioru jest większe lub równe a.

Kres górny zbioru jest najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru.

 

Liczbę b nazywamy kresem dolnym niepustego zbioru liczbowego A, jeśli b jest ograniczeniem dolnym zbioru A i każde ograniczenie dolne tego zbioru jest mniejsze lub równe b.

Kres dolny zbioru jest największym ograniczeniem dolnym tego zbioru.

 

Niech A będzie dowolnym zbiorem liczbowym. Niepusty podzbiór P zbioru A nazywamy przedziałem w zbiorze A, jeśli ma następującą własność:

jeśli a i b należą do P, a c jest elementem zbioru A i a < c < b, to c również należy do P.

 

Przedział P w zbiorze A nazywamy domkniętym, gdy jest w nim liczba najmniejsza i liczba największa.

Jeżeli najmniejszą liczbą w przedziale domkniętym P w zbiorze A jest a, a liczbą największą w tym przedziale jest b, to przedział P oznaczamy

Przedział P w zbiorze A nazywamy otwartym, gdy nie ma w nim ani liczby najmniejszej, ani liczby największej.

Jeżeli kresem dolnym przedziału otwartego P jest a, a kresem górnym tego przedziału jest b to przedział P oznaczamy 

Przedział P w zbiorze A nazywamy przedziałem jednostronnie domkniętym (lub jednostronnie otwartym) w A, gdy istnieje w nim liczba najmniejsza, ale nie istnieje liczba największa, lub odwrotnie: istnieje liczba największa, ale nie istnieje liczba najmniejsza.

 

Przedział jednostronnie domknięty, w którym istnieje najmniejsza liczba a, a b jest jego kresem górnym nie należącym do przedziału oznaczamy symbolem [a, b) i nazywamy przedziałem lewostronnie domkniętym. Podobnie, przedział, w którym istnieje największa liczba b, a jego kresem dolnym jest liczba a, nie należąca do przedziału oznaczamy symbolem (a, b] i nazywamy przedziałem prawostronnie domkniętym.

Otwarty przedział P, który jest zbiorem nieograniczonym oznaczamy 

Przedział otwarty, nieograniczony z dołu, którego kresem górnym jest a, oznaczamy 

Przedział otwarty, nieograniczony z góry, którego kresem dolnym jest a, oznaczamy 

Przedział jednostronnie domknięty, który jest nieograniczony z dołu, w którym jest liczba największa a, oznaczamy 

Przedział jednostronnie domknięty nieograniczony z góry, w którym jest liczba najmniejsza a, oznaczamy  

Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki 

jeśli 

to

Zasada indukcji matematycznej. Jeśli

1. liczba 1 ma pewną własność,

2. dla każdej liczby naturalnej n, z tego, że n ma tę własność wynika, że ma ją także liczba 

to każda liczba naturalna ma tę własność.

Punkt 1. w zasadzie indukcji nosi nazwę pierwszego kroku indukcyjnego,

punkt 2. drugiego kroku indukcyjnego. W drugim kroku indukcyjnym mamy założenie indukcyjne (to, co zakładamy o liczbie n) oraz tezę indukcyjną (to, co wynika dla liczby n+1).

 

Zasada minimum. W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.

 

Zasada Archimedesa. Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje liczba naturalna n, taka że 

Suma i iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, jeśli

to 

Jeśli n i k są liczbami naturalnymi oraz 

to liczba 

 jest liczbą naturalną.

Nierówność Bernouliego: jeśli

to dla każdej liczby naturalnej n 

Liczbami całkowitymi nazywamy wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą C.

Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki:

jeśli 

to 

W zbiorze C nie ma ani liczby największej, ani liczby najmniejszej; zbiór liczb całkowitych nie jest

·       ograniczony ani z góry, ani

·       ograniczony z dołu.

 

Ograniczona zasada minimum: jeśli niepusty zbiór A zawarty w C jest

·       ograniczony z dołu, to jest w nim liczba najmniejsza.

 

Ograniczona zasada maksimum: jeśli niepusty zbiór A, zawarty w C, jest

·       ograniczony z góry, to jest w nim liczba największa.

 

Częścią całkowitą liczby rzeczywistej x nazywamy największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od x. Oznaczamy ją symbolem [x]).

Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych są liczbami całkowitymi (jeśli 

 to

 

O dzieleniu z resztą. Niech c będzie dowolną liczbą całkowitą, n - dowolną liczbą naturalną. Wówczas istnieją liczby całkowite q i r takie, że 

 i 

 Liczby q i r są wyznaczone jednoznacznie.

 

Niech c będzie dowolną liczbą całkowitą, d dowolną liczbą całkowitą różną od 0. Wówczas istnieją liczby całkowite q i r takie, że 

 i 

Liczbę q nazywamy ilorazem z dzielenia liczby c przez liczbę n, liczbę r nazywamy resztą. Gdy 

 to mówimy: q jest dzielnikiem c albo q dzieli c.

Niezerowa liczba całkowita d dzieli liczbę całkowitą c wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita q, taka, że

Mówimy też wtedy, że d jest dzielnikiem liczby c.

 

Niech a i b będą dwiema liczbami całkowitymi. Mówimy, że d jest wspólnym dzielnikiem a i b, jeśli d dzieli a oraz d dzieli b.

oznacza największy wspólny dzielnik liczb a i b, gdy obie nie są jednocześnie równe 0. Gdy NWD(a, b) = 1, mówimy, że liczby a i b są względnie pierwsze.

 

Algorytm Euklidesa (obliczanie największego wspólnego dzielnika liczb całkowitych a i b)

jeżeli

to

koniec; w przeciwnym przypadku jeżeli

to zamiast a rozpatrujemy dalej

natomiast jeżeli

 to zamiast b rozpatrujemy dalej 

 powrót do punktu 1.

Nierówność Bernouliego: jeśli

, to dla każdej liczby naturalnej n 

Liczbę x nazywamy liczbą wymierną, gdy 

 dla pewnych liczb całkowitych a i b, gdzie 

 Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W.

Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.

 

. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka nieskracalnego.

Zbiór liczb wymiernych jest nieskończony i nieograniczony.

 

Jeśli a i b są liczbami wymiernymi i

, to istnieje liczba wymierna c taka, że 

 

Jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi i

to istnieje liczba wymierna c taka, że  

Mówimy, że zbiór liczbowy A jest gęsty w zbiorze liczbowym B, jeżeli dla każdych dwóch elementów zbioru B a i b takich, że istnieje element c w zbiorze A taki, że  .

Zbiór liczb wymiernych jest gęsty w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.

 

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest albo skończone, albo nieskończone okresowe.

Liczby o skończonych rozwinięciach dziesiętnych nazywamy liczbami dziesiętnymi.

 

Jeśli liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, to jest liczbą wymierną.

Suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną.

Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywamy liczbami niewymiernymi.

 

Jeśli liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, to jest liczbą niewymierną.

 

Jeśli x jest liczbą niewymierną, to x ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

 

Każdy ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny w R.

 

Każdy ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma kres dolny w R.

 

Procentem nazywamy setną część całości: 

 całości.

 

Modułem liczby rzeczywistej a lub wartością bezwzględną liczby a nazywamy liczbę

taką, że

Błędem bezwzględnym nazywamy moduł różnicy między wartością w i jej przybliżeniem 

 :

Błędem względnym ( błędem procentowym) nazywamy stosunek popełnionego błędu bezwzględnego do całości, wyrażony w procentach: 

  

Mówimy, że zbiór A jest zamknięty względem pewnego działania, jeżeli wynik tego działania wykonanego na elementach zbioru A jest elementem należącym do A.

Jeżeli 

 - wpłata początkowa, p - oprocentowanie, n - czas oprocentowania w latach, m - liczba okresów naliczeń oprocentowania w roku, to mamy:

Wzór na procent składany: 

wzór na procent prosty

 

Liczba 

 

 

Złoty podział odcinka to podział odcinka na dwa w ten sposób, aby zachowana była proporcja: większa część tak się ma do mniejszej, jak całość do większej części.

Liczba złota - proporcja złotego podziału jest równa 

 .

Ciąg Fibbonacciego: ciąg zdefiniowany rekurencyjnie: 

 i

dla